Question

8．在直角坐标系xOy中，设抛物线E：y²=2px（p＞0）的焦点为F，准线为直线l，点A、B在直线l上，点M为抛物线E第一象限上的点，△ABM是边长为$\frac{8}{3}$$\sqrt{3}$的等边三角形，直线MF的倾斜角为60°．
（1）求抛物线E的方程；
（2）如图，直线m过点F交抛物线E于C、D两点，Q（2，0），直线CQ、DQ分别交抛物线E于G、H两点，设直线CD、GH的斜率分别为k₁、k₂，求$\frac{{k}_{1}}{{k}_{2}}$的值．

Answer 1

分析 （I）由△ABM是边长为$\frac{8}{3}$$\sqrt{3}$的等边三角形，得|AB|=|AM|=|BMF|=4，
如图1，作MM′⊥l于点M′，FN⊥MM′于点N，由抛物线的定义知|MF|=|MM′，由|MN|=|MM′|-||NM′|=2，得p=|MN|；
（Ⅱ）设直线CD的方程为x=my+1，C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），联立$\left\{\begin{array}{l}{x=my+1}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$⇒y²-4my-4=0
  得C的坐标$（\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4}，{y}_{1}）$，k_CQ=$\frac{4{y}_{1}}{{{y}_{1}}^{2}-8}$，写出直线CQ的方程，得G、H坐标即可．

解答 解：（I）∵△ABM是边长为$\frac{8}{3}$$\sqrt{3}$的等边三角形，∴|AB|=|AM|=|BMF|=4，
如图1，作MM′⊥l于点M′，FN⊥MM′于点N…（1分）
由抛物线的定义知|MF|=|MM′|=4，
∵直线MF的倾斜角为60°，∴∠MFx=∠FMM′=60⁰
所以|MN|=|MM′|-||NM′|=2，所以p=|MN|=2…（3分）
所以抛物线E的方程y²=4x…（4分）


（II）设直线CD的方程为x=my+1，C（x₁，y₁），D（x₂，y₂）…（5分）
联立$\left\{\begin{array}{l}{x=my+1}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$⇒y²-4my-4=0
△=16m²+16＞0，y₁+y₂=4m，{y₁y₂=-4…（6分）
因为点C在抛物线E：y²=4x上，所以点C的坐标$（\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4}，{y}_{1}）$，
所以k_CQ=$\frac{4{y}_{1}}{{{y}_{1}}^{2}-8}$，…（7分）
所以直线CQ的方程为：y-0=$\frac{4{y}_{1}}{{{y}_{1}}^{2}-8}（x-2）$，即x=$\frac{{{y}_{1}}^{2}-8}{4{y}_{1}}y+2$，…（8分）
联立把x=$\frac{{{y}_{1}}^{2}-8}{4{y}_{1}}y+2$代入y²=4x，解得G（$\frac{16}{{{y}_{1}}^{2}}，-\frac{8}{{y}_{1}}$ ） 同理可得，H（$\frac{16}{{{y}_{2}}^{2}}，-\frac{8}{{y}_{2}}$），…（10分）
所以${k}_{1}=\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4}-\frac{{{y}_{2}}^{2}}{4}}=\frac{4}{{y}_{1}+{y}_{2}}$，
${k}_{2}=\frac{{y}_{H}-{y}_{G}}{{x}_{H}-{x}_{G}}=-\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{2（{y}_{1}+{y}_{2}）}=\frac{2}{{y}_{1}+{y}_{2}}$…（11分）
所以$\frac{{k}_{1}}{{k}_{2}}=2$ …（12分）

点评 本题考查了抛物线的方程，及直线与抛物线的位置关系，属于中档题．