Question

16．现有一半球形原料，若通过切削将该原料加工成一正方体工件，则所得工件体积与原料体积之比的最大值为$\frac{{\sqrt{6}}}{3π}$．

Answer 1

分析 设球半径为R，正方体边长为a，求出当正方体体积最大时对应的球半径，由此能求出结果．

解答 解：设球半径为R，正方体边长为a，
由题意得当正方体体积最大时：
${a^2}+{（\frac{{\sqrt{2}a}}{2}）^2}={R^2}$，∴$R=\frac{{\sqrt{6}a}}{2}$，
∴所得工件体积与原料体积之比的最大值为：
$\frac{a^3}{{\frac{1}{2}×\frac{{4π{R^3}}}{3}}}=\frac{a^3}{{\frac{1}{2}×\frac{4π}{3}×{{（\frac{{\sqrt{6}a}}{2}）}^3}}}=\frac{{\sqrt{6}}}{3π}$．
故答案为：$\frac{{\sqrt{6}}}{3π}$．

点评 本题考查工件体积与原料体积之比的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．