Question

6．设椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂，上顶点为A，过A与AF₂垂直的直线交x轴负半轴于Q点，且F₁恰好是线段QF₂的中点．
（1）若过A、Q、F₂三点的圆恰好与直线3x-4y-7=0相切，求椭圆C的方程；
（2）在（1）的条件下，B是椭圆C的左顶点，过点R（$\frac{3}{2}$，0）作与x轴不重合的直线l交椭圆C于E、F两点，直线BE、BF分别交直线x=$\frac{8}{3}$于M、N两点，若直线MR、NR的斜率分别为k₁，k₂，试问：k₁k₂是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由题意可知b²=3c²，根据点到直线的距离公式，即可求得c的值，求得a和b的值，求得椭圆方程；
（2）设直线PQ方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及直线的斜率公式，求得M和N点的纵坐标，利用斜率公式求得k₁，k₂，利用韦达定理即可求得k₁k₂．

解答 解：（1）由题意可知A（0，b），F₁是线段QF₁的中点，
设F₁（-c，0），F₂（c，0），则Q（-3c，0），
∵∠QAF₁=90°，
∴b²=3c²，
由题意Rt△QAF₁外接圆圆心为斜边的QF₁中点F₁（-c，0），半径等于2c，
由A，Q，F₂，三点恰好与直线3x-4y-7=0相切，
∴F₁（-c，0）到直线的距离等于半径2c，
即$\frac{丨-3c-7丨}{5}$=2c，
解得：c=1，b²=3，a²=4，
∴椭圆的标准方程：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），
直线PQ的方程为x=my+$\frac{3}{2}$，代入椭圆方程$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\\{x=my+\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
4（4+3m²）y²+36my-21=0，
y₁+y₂=-$\frac{-36m}{4（3{m}^{2}+4）}$，y₁y₂=-$\frac{21}{4（3{m}^{2}+4）}$，
由B，E，M，三点共线，可知：$\frac{{y}_{M}}{\frac{8}{3}+2}$=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+2}$，即y_M=$\frac{14{y}_{1}}{3（{x}_{1}+2）}$，
同理可得：y_N=$\frac{14{y}_{2}}{3（{x}_{2}+4）}$，
∴k₁k₂=$\frac{{y}_{M}}{\frac{8}{3}-\frac{3}{2}}$×$\frac{{y}_{N}}{\frac{8}{3}-\frac{3}{2}}$=$\frac{36{y}_{M}{y}_{N}}{49}$=$\frac{64{y}_{1}{y}_{2}}{4（{x}_{1}+2）（{x}_{2}+2）}$，
由4（x₁+2）（x₂+2）=（2my₁+7）（2my₂+7）=4m²y₁y₂+14m（y₁+y₂）+49，
∴k₁k₂=$\frac{64×\frac{-21}{4（3{m}^{2}+4）}}{4{m}^{2}×\frac{-21}{4（3{m}^{2}+4）}-\frac{14×36{m}^{2}}{4（3{m}^{2}+4）}+49}$=-$\frac{12}{7}$，
∴k₁k₂是否为定值-$\frac{12}{7}$．

点评 本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，直线的斜率公式，属于中档题．