Question

18．已知圆C₁：x²+y²=4和圆C₂：（x-2）²+（y-2）²=4，若点P（a，b）（a＞0，b＞0）在两圆的公共弦上，则$\frac{1}{a}+\frac{9}{b}$的最小值为8．

Answer 1

分析 求出两圆的公共弦，再利用基本不等式，即可得出结论．

解答 解：由题意，两圆的方程相减，可得x+y=2，
∵点P（a，b）（a＞0，b＞0）在两圆的公共弦上，
∴a+b=2，
∴$\frac{1}{a}+\frac{9}{b}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{a}+\frac{9}{b}$）（a+b）=$\frac{1}{2}$（10+$\frac{b}{a}$+$\frac{9a}{b}$）$≥\frac{1}{2}（10+6）$=8，
当且仅当$\frac{b}{a}$=$\frac{9a}{b}$，即b=3a时，取等号，$\frac{1}{a}+\frac{9}{b}$的最小值为8，
故答案为8．

点评 本题考查圆与圆的位置关系，考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．