Question

17．已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）+1（ω＞0，|φ|≤$\frac{π}{2}}$），其图象与直线y=2最近的两个相邻交点间的距离为$\frac{π}{3}$，若f（x）＞1对$?x∈（{-\frac{π}{8}，\frac{π}{3}}）$恒成立，则φ的取值范围是（　　）

• A． $[{\frac{π}{4}，\frac{π}{3}}]$
• B． $[{-\frac{π}{6}，\frac{π}{4}}]$
• C． $[{\frac{π}{6}，\frac{π}{4}}]$
• D． $（{\frac{π}{6}，\frac{π}{2}}]$

Answer 1

分析 由题意可得y=sin（ωx+φ）的图象和直线y=$\frac{1}{2}$ 的相邻的两个交点间的距离为$\frac{π}{3}$，∴可得$\frac{1}{3}•\frac{2π}{ω}$=$\frac{π}{3}$，求得ω=2，可得f（x）=2sin（2x+φ）+1．
根据当x∈（-$\frac{π}{8}$，$\frac{π}{3}$） 时，sin（2x+φ）＞0，可得2•（-$\frac{π}{8}$）+φ≥2kπ，2•$\frac{π}{3}$+φ≤2kπ+π，k∈Z，求得 φ的范围．

解答 解：∵函数f（x）=2sin（ωx+φ）+1（ω＞0，|φ|≤$\frac{π}{2}}$），其图象与直线y=2最近的两个相邻交点间的距离为$\frac{π}{3}$，
令2sin（ωx+φ）+1=2，求得sin（ωx+φ）=$\frac{1}{2}$，y=sin（ωx+φ）的图象和直线y=$\frac{1}{2}$ 的相邻的两个交点间的距离为$\frac{π}{3}$，
∴$\frac{1}{3}•\frac{2π}{ω}$=$\frac{π}{3}$，∴ω=2，f（x）=2sin（2x+φ）+1．
∵f（x）＞1对$?x∈（{-\frac{π}{8}，\frac{π}{3}}）$恒成立，∴当x∈（-$\frac{π}{8}$，$\frac{π}{3}$） 时，2sin（2x+φ）+1＞1恒成立，即sin（2x+φ）＞0，
∴2•（-$\frac{π}{8}$）+φ≥2kπ，2•$\frac{π}{3}$+φ≤2kπ+π，k∈Z，求得 φ≥2kπ+$\frac{π}{4}$，且φ≤2kπ+$\frac{π}{3}$，k∈Z，
即φ∈[2kπ+$\frac{π}{4}$，2kπ+$\frac{π}{3}$]，
故选：A．

点评 本题主要考查正弦函数的图象和性质，函数的恒成立问题，属于中档题．