Question

12．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且2acosC-a=c-2ccosC，若c=3，则a+b的最大值为6．

Answer 1

分析 2acosC-a=c-2ccosC，即2（a+c）cosC=a+c，可得cosC=$\frac{1}{2}$，C∈（0，π），解得C．再利用余弦定理与基本不等式的性质即可得出．

解答 解：∵2acosC-a=c-2ccosC，∴2（a+c）cosC=a+c，
∴cosC=$\frac{1}{2}$，C∈（0，π），
解得C=$\frac{π}{3}$．
由余弦定理可得：9=c²=a²+b²-2abcos$\frac{π}{3}$，
∴9=（a+b）²-3ab≥（a+b）²-3×$（\frac{a+b}{2}）^{2}$，化为a+b≤6，当且仅当a=b=3时取等号．
∴a+b的最大值为6．
故答案为：6．

点评 本题考查了余弦定理、基本不等式的性质、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．