Question

2．已知圆F₁：（x+$\sqrt{3}$）²+y²=9与圆F₂：（x-$\sqrt{3}$）²+y²=1，以圆F₁、F₂的圆心分别为左右焦点的椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）经过两圆的交点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线x=2$\sqrt{3}$上有两点M、N（M在第一象限）满足$\overrightarrow{{F}_{1}M}$•$\overrightarrow{{F}_{2}N}$=0，直线MF₁与NF₂交于点Q，当|MN|最小时，求线段MQ的长．

Answer 1

分析 （1）由题意，c=$\sqrt{3}$，两圆的交点坐标为（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，±$\frac{\sqrt{6}}{3}$），代入椭圆方程可得$\frac{\frac{4}{3}}{{a}^{2}}+\frac{\frac{2}{3}}{{b}^{2}}$=1，联立a²+b²=3，求出a，b，即可得到椭圆方程；
（2）求出M，N的坐标，利用基本不等式求出|MN|的最小值，即可得出结论．

解答 解：（1）由题意，c=$\sqrt{3}$，两圆的交点坐标为（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，±$\frac{\sqrt{6}}{3}$），
代入椭圆方程可得$\frac{\frac{4}{3}}{{a}^{2}}+\frac{\frac{2}{3}}{{b}^{2}}$=1，
联立a²+b²=3，可得a²=2，b²=1，
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1；
（2）设直线MF₁的方程为y=k（x+$\sqrt{3}$）（k＞0），可得M（2$\sqrt{3}$，3$\sqrt{3}$k），
同理N（2$\sqrt{3}$，-$\frac{\sqrt{3}}{k}$），
∴|MN|=|$\sqrt{3}$（3k+$\frac{1}{k}$）|≥6，
当且仅当k=$\frac{\sqrt{3}}{3}$时，|MN|取得最小值6，
此时M（2$\sqrt{3}$，3），|MF₁|=6，|QF₁|=3，
∴|MQ|=3．

点评 本题考查椭圆方程，考查直线方程，考查基本不等式的运用，属于中档题．