Question

3．函数y=f（x）图象上不同两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）处的切线的斜率分别是k_A，k_B，规定φ（A，B）=$\frac{|{k}_{A}-{k}_{B}|}{|AB|}$叫做曲线在点A与点B之间的“弯曲度”．设曲线y=e^x上不同的两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），且x₁-x₂=1，若t•φ（A，B）＜3恒成立，则实数t的取值范围是（　　）

• A． （-∞，3]
• B． （-∞，2]
• C． （-∞，1]
• D． [1，3]

Answer 1

分析 求出函数y=e^x的导数，可得切线的斜率，运用φ（A，B），由分离参数法，可得t＜$\frac{3}{φ（A，B）}$恒成立，求得右边的范围或最值，即可得到t的范围．

解答 解：y=e^x的导数为y′=e^x，
φ（A，B）=$\frac{|{k}_{A}-{k}_{B}|}{|AB|}$=$\frac{|{e}^{{x}_{1}}-{e}^{{x}_{2}}|}{\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+（{e}^{{x}_{1}}-{e}^{{x}_{2}}）^{2}}}$=$\frac{|{e}^{{x}_{1}}-{e}^{{x}_{2}}|}{\sqrt{1+（{e}^{{x}_{1}}-{e}^{{x}_{2}}）^{2}}}$＞0，
可得$\frac{1}{φ（A，B）}$=$\frac{\sqrt{1+（{e}^{{x}_{1}}-{e}^{{x}_{2}}）^{2}}}{|{e}^{{x}_{1}}-{e}^{{x}_{2}}|}$=$\sqrt{1+\frac{1}{（{e}^{{x}_{1}}-{e}^{{x}_{2}}）^{2}}}$＞1，
t•φ（A，B）＜3恒成立，则t＜$\frac{3}{φ（A，B）}$恒成立，
由$\frac{3}{φ（A，B）}$＞3，
即有t≤3．
故选：A．

点评 本题考查新定义的理解和运用，考查导数的运用：求切线的斜率，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用转化思想，求最值，考查运算能力，属于中档题．