Question

18．为了解甲、乙两个教学班级（每班学生数均为50人）的教学效果，期末考试后，对甲、乙两个班级的学生成绩进行统计分析，画如图甲班学生布线频率分布直方图和乙班学生成绩频数分布表，记成绩不低于80分为优秀．
（1）根据频率分布直方图及频数分布表，填写下面2×2列联表，并判断有多大的把握认为：“成绩优秀”与所在教学班级有关．

	甲班	乙班	总计
成绩优秀	28	20	48
成绩不优秀	22	30	52
总计	50	50	100

附：K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$

P（K2≥k）	0.25	0.15	0.10	0.05	0.025
k	1.322	2.072	2.706	3.840	5.024

（2）在甲、乙两个班成绩不及格（低于60分）的学生中任选两人，记其中甲班的学生人数为ξ，求ξ的概率分布列与数学期望．

Answer 1

分析 （I）根据频率分布直方图可得甲班的成绩“优秀”的人数，（0.032+0.024）×10×50=28，可得“不优秀”的人数．根据已知表格可得：乙班的成绩“优秀”的人数，12+8=20，即可得出“不优秀”的人数．
（Ⅱ）由已知甲、乙两班级不及格人数分别是：4人、6人ξ的所有取值为：0，1，2，利用P（ξ=k）=$\frac{{∁}_{6}^{2-k}{∁}_{4}^{k}}{{∁}_{10}^{2}}$即可得出．

解答 解：（Ⅰ）根据频率分布直方图可得甲班的成绩“优秀”的人数，（0.032+0.024）×10×50=28，
“不优秀”的人数：50-28=22．
根据已知表格可得：乙班的成绩“优秀”的人数，12+8=20，
“不优秀”的人数：50-20=30．
可得以下表格：

	甲班	乙班	总计
成绩优秀	28	20	48
成绩不优秀	22	30	52
总计	50	50	100

根据列联表数据，${K^2}=\frac{{100{{（28×30-22×20）}^2}}}{48×52×50×50}≈2.564＞2.072$．…（5分）
所以，有85%的把握认为“成绩优秀”与所在教学班级有关．…（6分）
（Ⅱ）由已知甲、乙两班级不及格人数分别是：4人、6人ξ的所有取值为：0，1，2…（7分）$P（ξ=0）=\frac{C_6^2}{{C_{10}^2}}=\frac{1}{3}$，$P（ξ=1）=\frac{C_6^1C_4^1}{{C_{10}^2}}=\frac{8}{15}$，$P（ξ=2）=\frac{C_4^2}{{C_{10}^2}}=\frac{2}{15}$

ξ	0	1	2
P	$\frac{1}{3}$	$\frac{8}{15}$	$\frac{2}{15}$

…（10分）
所求分布列的数学期望为：$Eξ=0×\frac{1}{3}+1×\frac{8}{15}+2×\frac{2}{15}=\frac{4}{5}$…（12分）

点评 本题考查了频率分布直方图的性质、超几何分布列的性质及其数学期望、独立性检验思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．