Question

已知α为锐角，且tanα=

2

-1，函数f(x)=2xtan2α+sin(2α+

π

4

)，数列{a_n}的首项a₁=1，a_n+1=f（a_n）．
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）在△ABC中，若∠A=2α，∠C=

π

3

，BC=2，求△ABC的面积
（3）求数列{a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（1）利用三角函数公式二倍角公式，两角和正弦公式分别求出tan2α，sin（2α+

π

4

）的值，代入解析式即可求得函数f（x）的表达式．
（2）利用正弦定理求得AB，再用S△ABC=

1

2

×AB×BC×sinB计算可得面积大小．
（3）由a_n+1=2a_n+1，先转化构造出数列{a_n+1}是以2为首项，2为公比的等比数列．求出数列{a_n}的通项，再去求和．

解答：解：（1）tan2α=

2tanα

1-tan2α

=

2( 2 -1)

1-( 2 -1)2

=1
∴sin(2α+

π

4

)=sin2α•cos

π

4

+cos2α•sin

π

4

=

2

2

(sin2α+cos2α)
=

2

2

×

2sinα•cosα+(cos2α-sin2α )

sin2α+cos2α

（分子分母同除以cos²α）
=

2

2

×

2tanα+(1-tan2α)

1+tan2α

=1
∴f（x）=2x+1
（2）由（1）得∠A=2α=

π

4

，而∠C=

π

3

，
根据正弦定理易AB=

BC•sin π 3

sin π 4

=

2× 3 2

2 2

=

6

，
sinB=sin[π-(A+C)]=sin75°=

6 + 2

4

S△ABC=

1

2

×AB×BC×sinB=

1

2

×

6

×2×

6 + 2

4

=

3+ 3

2

（3）∵a_n+1=2a_n+1，
∴a_n+1+1=2（a_n+1）
∵a₁=1∴数列{a_n+1}是以2为首项，2为公比的等比数列．
可得a_n+1=2ⁿ，∴a_n=2ⁿ-1，
∴Sn=

2(1-2n)

1-2

-n=2n+1-n-2

点评：本题考查函数与三角、数列的综合．注意考查了三角函数公式、正弦定理、数列求和．须具有较强的分析解决问题，计算，转化的思想与能力．是难题．