Question

10．设函数f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$x，给出下列四个命题：
①函数f（|x|）为偶函数；
②若f（a）=|f（b）|其中a＞0，b＞0，a≠b，则ab=1；
③函数f（-x²+2x）在（1，3）上为单调递增函数；
④若0＜a＜1，则|f（1+a）|＜|f（1-a）|．
则正确命题的序号是①②④．

Answer 1

分析 ①由f（|-x|）=f（|x|），即可得出f（|x|）为偶函数；
②若f（a）=|f（b）|其中a＞0，b＞0，∵a≠b，可得f（a）=|f（b）|=-f（b），利用对数的运算性质可得：log${\;}_{\frac{1}{2}}$（ab）=0，可得ab=1．
③函数f（-x²+2x）=$lo{g}_{\frac{1}{2}}[-（x-1）^{2}+1]$，由-x²+2x＞0，解出可得函数的定义域为（0，2），即可判断出正误；
④由0＜a＜1，可得1+a＞1-a，f（1+a）＜0＜f（1-a），作差|f（1-a）|-|f（1-a）|=-f（1+a）-f（1-a），化简即可得出正误．

解答 解：f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$x，x＞0．
①函数f（|x|）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$|x|，∵f（|-x|）=f（|x|），∴f（|x|）为偶函数，正确；
②若f（a）=|f（b）|其中a＞0，b＞0，∵a≠b，∴f（a）=|f（b）|=-f（b），
∴log${\;}_{\frac{1}{2}}$a+log${\;}_{\frac{1}{2}}$b=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（ab）=0，∴ab=1．因此正确．
③函数f（-x²+2x）=$lo{g}_{\frac{1}{2}}（-{x}^{2}+2x）$=$lo{g}_{\frac{1}{2}}[-（x-1）^{2}+1]$，由-x²+2x＞0，解得0＜x＜2，
∴函数的定义域为（0，2），因此在（1，3）上不具有单调性，不正确；
④若0＜a＜1，∴1+a＞1-a，∴f（1+a）＜0＜f（1-a），故|f（1-a）|-|f（1-a）|=-f（1+a）-f（1-a）=-$lo{g}_{\frac{1}{2}}（1-{a}^{2}）$＜0，即|f（1-a）|＜|f（1-a）|，因此正确．
综上可得：只有①②④正确．
故答案为：①②④．

点评 本题考查了对数函数的奇偶性、单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．