Question

7．已知数列{a_n}的前n项和S_n=$\frac{3}{2}$a_n+n-3，求证：数列{a_n-1}是等比数列．

Answer 1

分析 根据题意和${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{{S}_{1}，n=1}\\{{S}_{n}-{S}_{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$，求出a₁=4，数列{a_n}的递推公式，代入a_n-1化简后，由等比数列的定义证明即可．

解答 证明：由题意得，S_n=$\frac{3}{2}$a_n+n-3，
所以当n=1时，S₁=$\frac{3}{2}$a₁+1-3，解得a₁=4，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（$\frac{3}{2}$a_n+n-3）-（$\frac{3}{2}$a_n-1+n-1-3），
化简得a_n=3a_n-1-2（n≥2），
所以a_n-1=3a_n-1-2-1=3（a_n-1-1），
因为a₁=4，所以a₁-1=3≠0，则$\frac{{a}_{n}-1}{{a}_{n-1}-1}=3$，
所以数列{a_n-1}是3为首项和公比的等比数列．

点评 本题考查数列前n项和与通项公式的关系：${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{{S}_{1}，n=1}\\{{S}_{n}-{S}_{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$，以及等比数列的定义的应用，考查化简、变形能力．