Question

12．已知α∈（0，π），方程x²sinα+y²cosα=1，试表述当α变化时方程所表示的曲线形状．

Answer 1

分析 根据sinα，cosα的符号，对角α分五类进行讨论，由直线、圆、椭圆和双曲线的标准方程判断对应曲线的具体类型．

解答 解：当α≠90°时，∵x²sinα+y²cosα=1，∴$\frac{{x}^{2}}{\frac{1}{sinα}}+\frac{{y}^{2}}{\frac{1}{cosα}}=1$．
（1）当0°＜α＜45°时，0＜sinα＜cosα，曲线是焦点在X轴上的椭圆；（3分）
（2）当α=45°时，$\frac{\sqrt{2}}{2}$，曲线是圆；（2分）
（3）当45°＜α＜90°时，sinα＞cosα＞0，曲线是焦点在Y轴上的椭圆；（3分）
（4）当α=90°时，方程为x=±1，曲线是两条直线；（2分）
（5）90°＜α＜180°时，sinα＞0，cosα＜0，曲线是焦点在X轴上的双曲线．（4分）

点评 本题考查了方程含有参数时讨论表示的曲线问题，需要根据系数的符号进行分类讨论，分别再由圆、椭圆和双曲线的标准方程判断对应曲线的具体形状，考查了分类讨论思想．