Question

17．如图，E，F，G，H分别是空间四边形ABCD四边的中点．
（1）证明：EH∥平面BCD；
（2）若AC与BD成30°的角，且AC=6，BD=4，求四边形EFGH的面积．

Answer 1

分析 （1）推导出 EH∥BD，FG∥BD，从而EH∥FG，由此能证明EH∥平面BCD．
（2）推导出EF∥AC∥HG，EH∥BD∥FG，EF=HG=3，EH=FG=2，∠EFG=30°，由此能求出四边形EFGH的面积．

解答 证明：（1）∵E，F，G，H分别是空间四边形ABCD四边的中点．
∴EH∥BD，FG∥BD，
∴EH∥FG，
∵EH?平面BCD，FG?平面BCD，
∴EH∥平面BCD．
解：（2）∵E，F，G，H分别是空间四边形ABCD四边的中点，
AC与BD成30°的角，且AC=6，BD=4，
∴EF∥AC∥HG，EH∥BD∥FG，
且EF=HG=$\frac{1}{2}AC$=3，EH=FG=$\frac{1}{2}$BD=2，
∴∠EFG=30°，
∴四边形EFGH的面积=EF•FG•sin30°=3×2×sin30°=3．

点评 本题考查线面平行的证明，考查四边形的面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．