Question

7．极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点为极点，以x轴正半轴为极轴，曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ，射线θ=φ，θ=φ+$\frac{π}{4}$，θ=φ-$\frac{π}{4}$与曲线C交于（不包括极点O）三点A，B，C．
（Ⅰ）求证：|OB|+|OC|=$\sqrt{2}$|OA|；
（Ⅱ）当φ=$\frac{π}{12}$时，求三角形△OBC的面积．

Answer 1

分析 （I）当φ∈$（-\frac{π}{4}，\frac{π}{4}）$，|OB|+|OC|=4cos（φ+$\frac{π}{4}$）+4cos（φ-$\frac{π}{4}$），展开可与$\sqrt{2}$|OA相等|．φ∈$[\frac{π}{4}，\frac{π}{2}）$∪$（-\frac{π}{2}，-\frac{π}{4}]$时，同理可得．
（II）φ=$\frac{π}{12}$时，ρ_B=$4cos\frac{π}{3}$，ρ_C=4cos$（-\frac{π}{6}）$，φ+$\frac{π}{4}$-（φ-$\frac{π}{4}$）=$\frac{π}{2}$．利用直角三角形面积计算公式即可得出．

解答 （I）证明：当φ∈$（-\frac{π}{4}，\frac{π}{4}）$时，∴|OB|+|OC|=4cos（φ+$\frac{π}{4}$）+4cos（φ-$\frac{π}{4}$）=4$\sqrt{2}$cosφ=$\sqrt{2}$|OA|．
φ∈$[\frac{π}{4}，\frac{π}{2}）$∪$（-\frac{π}{2}，-\frac{π}{4}]$时，同理可得．
（II）解：φ=$\frac{π}{12}$时，ρ_B=$4cos\frac{π}{3}$=2，ρ_C=4cos$（-\frac{π}{6}）$=2$\sqrt{3}$，φ+$\frac{π}{4}$-（φ-$\frac{π}{4}$）=$\frac{π}{2}$．
∴三角形△OBC的面积=$\frac{1}{2}×2×2\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了三角函数和差公式、极坐标的应用、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．