Question

15．已知二次函数f（x）=x²-ax+a（x∈R）同时满足：
①不等式f（x）≤0的解集有且只有一个元素；
②在定义域内存在0＜x₁＜x₂，使得不等式f（x₁）＞f（x₂）成立．设数列{a_n}的前n项和S_n=f（n）．
（1）求f（x）的表达式；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）设b_n=（$\sqrt{3}$）${\;}^{{a_n}+5}}$，c_n=$\frac{{6b_n^2+{b_{n+1}}-{b_n}}}{{{b_n}{b_{n+1}}}}$，{c_n}的前n项和为T_n，若T_n＞2n+t对任意n∈N，n≥2恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由不等式f（x）≤0的解集有且只有一个元素得△=0，解得a=0或a=4．对a分类讨论，利用二次函数的单调性即可得出．
（2）由（1）知：${S_n}={n^2}-4n+4$．当n=1时，a₁=S₁．当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1．即可得出．
（3）由（2）及其已知可得b_n，c_n，T_n，再利用数列的单调性即可得出．

解答 解：（1）由不等式f（x）≤0的解集有且只有一个元素得△=a²-4a=0，
解得a=0或a=4．
当a=0时，f（x）=x²在（0，+∞）上单调递增，故不存在0＜x₁＜x₂，使得不等式f（x₁）＞f（x₂）成立；
当a=4时，f（x）=x²-4x+4在（0，2）上单调递减，故存在0＜x₁＜x₂，使得不等式f（x₁）＞f（x₂）成立．
综上，f（x）=x²-4x+4．
（2）由（1）知：${S_n}={n^2}-4n+4$．
当n=1时，a₁=S₁=1．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（n²-4n+4）-[（n-1）²-4（n-1）+4]=2n-5．
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}1，n=1\\ 2n-5，n≥2.\end{array}\right.$．
（3）∵${b_n}={（\sqrt{3}）^{{a_n}+5}}$=$\left\{\begin{array}{l}27，n=1\\{3^n}，n≥2.\end{array}\right.$，∴b₁=27，b₂=9，${c_1}=18-\frac{2}{27}$，
∴当n≥2时，${c_n}=\frac{{6×{3^{2n}}+{3^{n+1}}-{3^n}}}{{{3^n}×{3^{n+1}}}}$=$2+2{（\frac{1}{3}）^{n+1}}$，
∴当n≥2时，${T_n}=18-\frac{2}{27}+2（n-1）+2\frac{{\frac{1}{27}（1-{{（\frac{1}{3}）}^{n-1}}）}}{{1-\frac{1}{3}}}$$16+\frac{1}{27}+2n-{（\frac{1}{3}）^{n+1}}$，
T_n＞2n+t对n∈N，n≥2恒成立等价于t＜$16+\frac{1}{27}-{（\frac{1}{3}）^{n+1}}$对n∈N，n≥2恒成立，
而$16+\frac{1}{27}-{（\frac{1}{3}）^{n+1}}$是关于n的增函数，∴当n=2时，（T_n）_min=16，
∴实数t的取值范围是t＜16．

点评 本题考查二次函数的单调性、数列的递推关系、等比数列的通项公式与求和公式、不等式的解法、等价问题转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．