Question

【题目】己知椭圆的离心率为，点在椭圆C上.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，轴，垂足为E，连结QE并延长交C于点G.

①求证：是直角三角形；

②求面积的最大值.

Answer 1

【答案】（1）（2）①证明见解析；②

【解析】

（1）解方程组即可；

（2）①设直线PQ的斜率为k.则其方程为，联立直线与椭圆方程得到坐标，再由QG与椭圆方程联立得到G点坐标，证明斜率乘积等于即可；②利用两点间的距离公式算得的长度，将三角形的面积用k表示，再结合双勾函数的单调性即可得到答案.

（1）由题意，，，，

解得，

所以椭圆的方程为：.

（2）①：设直线PQ的斜率为k.则其方程为.

由，得.

记，则，，.

于是直线QG的斜率为，方程为.

由得.①

设，则和是方程①的解，

故，由此得.

从而直线PG的斜率为.

所以，即是直角三角形.

②：由①得，，

所以的面积，

又，所以.

设，则由得，当且仅当时取等号.

因为，而在单调递增，

所以当，即时，S取得最大值，最大值为.

因此，面积的最大值为.