Question

【题目】设函数.

（1）若a＝0时，求函数的单调递增区间；

（2）若函数在x＝1时取极大值，求实数a的取值范围；

（3）设函数的零点个数为m，试求m的最大值.

Answer 1

【答案】（1）单调增区间为(1，)（2）（3）2

【解析】

（1）求导得到函数的单调增区间.

（2）求导，讨论，，或，几种情况，分别计算函数极值得到答案.

（3）考虑，两种情况，求导得到单调区间，计算极值判断零点个数，得到答案.

（1）当a＝0时，，所以，由得x＝1，

当x(0，1)时，＜0；当x(1，)时，＞0，

所以函数的单调增区间为(1，).

（2）由题意得，

令(x＞0)，则，

当≥0即时，＞0恒成立，

故在(0，1)上递减，在(1，+)上递增，所以x＝1是函数的极小值点，不满足；

当即时，此时＞0恒成立，

在(0，1)上递减，在(1，+)上递增，所以x＝1是函数的极小值点，不满足；

当即或时，

在(0，1)上递减，在(1，+)上递增，所以x＝1是函数的极小值点，不满足；

当时，解得或（舍），

当时，设的两个零点为，，所以＝1，不妨设0＜＜，

又，所以0＜＜1＜，故，

当x(0，)时，＜0；当x(，1)时，＞0；当x(1，)时，＜0；当x(，)时，＞0；

∴在(0，)上递减，在(，1)上递增，在(1，)上递减，在(，)上递增；

所以x＝1是函数极大值点，满足.

综上所述：.

（3）①由（2）知当时，函数在(0，1)上单调递减，在(1，)上单调递增，故函数至多有两个零点，欲使有两个零点，需，得，

；

，，

故满足函数有2个零点.

②当时，由（2）知在(0，)上递减，在(，1)上递增，在(1，)上递减，在(，)上递增；

而0＜＜1，所以，

此时函数也至多有两个零点

综上①②所述，函数的零点个数m的最大值为2.