Question

【题目】已知数列满足奇数项成等差，公差为，偶数项成等比，公比为，且数列的前项和为，，.

若，.

①求数列的通项公式；

②若，求正整数的值；

若，，对任意给定的，是否存在实数，使得对任意恒成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】①，；②；存在；的取值范围为.

【解析】

先由，，联立求得，；①先对进行分类（正奇数与正偶数），分别求通项公式；②先对进行分类（正奇数与正偶数），利用①求得的通项公式分别求满足题意的，再综合；

分当与两种情况分别研究，求出的取值范围.

解：①因为，，所以，，即解得，.

当为奇数时，设，则

当为偶数时，设，则

综上，.

②当为奇数时，，即，即，当时，不合题意；

当时，右边小于2，左边大于2，等式不成立；

当为偶数时，，,所以.综上，.

当时，由于，各项，所以，所以符合题意；

当时，假设对任意恒成立，即对任意恒成立，

所以，令，即对任意恒成立

先证：对任意恒成立，

令，则，

所以在上递减，在上递增，

所以，即对任意恒成立，所以，

所以，所以当时，,

即，解得，

所以当且时，这与对任意恒成立矛盾，所以当时不合题意；

综上的取值范围为.