Question

【题目】已知直线与抛物线交于、两点，是坐标原点，.

（1）求线段中点的轨迹的方程；

（2）设直线与曲线交于、两点，，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）设,,由可解得,联立直线:与抛物线,根据韦达定理可得,则,进而可知直线恒过定点,设为,由,作差可得,将直线的斜率公式代入,即可求得点的轨迹方程,并检验时是否满足；

（2）分别联立直线与点的轨迹方程,直线与抛物线,利用两点间距离公式和弦长公式分别求得和,由可得范围,进而求得的范围,从而求解.

解:（1）设,,

,

,即,

,,

设直线:,代入,

得,则,

,解得,

:,

直线过定点,

设线段的中点坐标为,

由,作差可得,

,即,

当时,中点满足上述方程,

故轨迹的方程为.

（2）由（1）,由可得,解得或,

与曲线交于,两点,,

当时,；当时,,

设,,

,

由可得,则,

所以,,

则,

,

由交曲线于,两点,知,

,,

故所求的取值范围是.