【题目】在直角坐标系中,已知椭圆
的上顶点坐标为
,离心率为
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若椭圆上的点的横坐标为
,且位于第一象限,点
关于
轴的对称点为点
,
是位于直线
异侧的椭圆上的动点.
①若直线的斜率为
,求四边形
面积的最大值;
②若动点满足
,试探求直线
的斜率是否为定值?说明理由.
【答案】(1)(2)①
②为定值,见解析
【解析】
(1)直接根据椭圆的几何性质求解;
(2)由(1)可得点坐标为
,则
,
①设直线方程,联立椭圆方程,设
,得韦达定理,表示出四边形
面积
,从而求出四边形
面积最大值为
;
②由题意可得直线斜率与直线
斜率互为相反数,设直线
的方程,联立椭圆方程,设
,得两根之和,求得
,设
,同理可得
,根据斜率计算公式得直线
的斜率为定值.
解:(1)由题意,可得
,
则椭圆的标准方程为;
(2)由(1)可得点坐标为
,则
,
①设直线方程为
,联立椭圆方程
,
化简可得,
设,则
,
∴当时,四边形
面积最大值为
;
②由题意,因为,则直线
斜率与直线
斜率互为相反数,
设直线的方程为
,联立椭圆方程
,
化简可得,设
,
则,又
,所以
,
设,同理可得
,
所以,
所以直线的斜率
为定值.
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【题目】某工厂生产、
两种零件,其质量测试按指标划分,指标大于或等于
的为正品,小于
的为次品.现随机抽取这两种零件各100个进行检测,检测结果统计如下:
测试指标 | |||||
| 8 | 12 | 40 | 30 | 10 |
| 9 | 16 | 40 | 28 | 7 |
(Ⅰ)试分别估计、
两种零件为正品的概率;
(Ⅱ)生产1个零件,若是正品则盈利50元,若是次品则亏损10元;生产1个零件
,若是正品则盈利60元,若是次品则亏损15元,在(Ⅰ)的条件下:
(i)设为生产1个零件
和一个零件
所得的总利润,求
的分布列和数学期望;
(ii)求生产5个零件所得利润不少于160元的概率.
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【题目】在直角坐标系中,曲线
的参数方程为
(
为参数),若以该直角坐标系的原点
为极点,
轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线
的极坐标方程为:
(其中
为常数).
(1)若曲线与曲线
有两个不同的公共点,求
的取值范围;
(2)当时,求曲线
上的点与曲线
上点的最小距离.
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【题目】十九大指出中国的电动汽车革命早已展开,通过以新能源汽车替代汽/柴油车,中国正在大力实施一项将重塑全球汽车行业的计划.2018年某企业计划引进新能源汽车生产设备,通过市场分析,全年需投入固定成本2500万元,每生产x(百辆),需另投入成本万元,且
.由市场调研知,每辆车售价5万元,且全年内生产的车辆当年能全部销售完.
(1)求出2018年的利润L(x)(万元)关于年产量x(百辆)的函数关系式;(利润=销售额-成本)
(2)2018年产量为多少百辆时,企业所获利润最大?并求出最大利润.
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【题目】已知函数f(x)=x2+2alnx.
(1)若函数f(x)的图象在(2,f(2))处的切线斜率为1,求实数a的值;
(2)若函数在[1,2]上是减函数,求实数a的取值范围.
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【题目】在平面直角坐标系中,已知曲线
的参数方程为
(
为参数).以
为极点,
轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线
的极坐标方程为
.
(1)求曲线的极坐标方程和曲线
的直角坐标方程;
(2)设动直线:
分别与曲线
,
相交于点
,
,求当
为何值时,
取最大值,并求
的最大值.
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