Question

3．对于函数y=f（x），若存在区间[a，b]，当x∈[a，b]时的值域为[ka，kb]（k＞0），则称y=f（x）为k倍值函数．若f（x）=x-lnx是[1，+∞）上的k倍值函数，则实数k的取值范围是（1-$\frac{1}{e}$，1）．

Answer 1

分析 求函数f（x）的导数，判断函数f（x）在[1，+∞） 内为单调增函数，利用导数求得g（x）的极小值为：g（e）=1-$\frac{1}{e}$，求出直线y=k与曲线y=g（x）的图象有两个交点时，满足条件，从而求得k的取值范围．

解答 解：∵f（x）=x-lnx，
∴f′（x）=1-$\frac{1}{x}$=$\frac{x-1}{x}$，
∵x≥1，
∴f′（x）≥0，
即f（x）在[1，+∞）上为单调增函数，
因此有：f（a）=ka，f（b）=kb，即：a-lna=ka，b-lnb=kb，即a，b为方程x-lnx=kx的两个不同根．
∴k=1-$\frac{lnx}{x}$，令 g（x）=1-$\frac{lnx}{x}$，令 g'（x）=-$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$=$\frac{lnx-1}{{x}^{2}}$，
由g′（x）＞0得x＞e，
由g′（x）＜0得1≤x＜e，
即可得极小值点x=e，故g（x）的极小值为：g（e）=1-$\frac{1}{e}$，
当x=1时，g（1）=1趋于-∞，当x趋于∞时，g（x）趋于1，
因此当1-$\frac{1}{e}$＜k＜1时，直线y=k与曲线y=g（x）的图象有两个交点，方程 k=1-$\frac{lnx}{x}$ 有两个解．
故所求的k的取值范围为（1-$\frac{1}{e}$，1），
故答案为：（1-$\frac{1}{e}$，1）

点评 本题主要考查导数的应用，利用导数判断是单调性是解决本题的关键，体现了转化的数学思想，综合性较强，有一定的难度．