Question

11．已知函数f（x）=x-alnx，g（x）=-$\frac{1+a}{x}$，（a∈R）
（1）若a=1，求函数f（x）的极值；
（2）设函数h（x）=f（x）-g（x），求函数h（x）的单调区间．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求出函数f（x）的导数，得到函数的单调区间，从而求出函数的极小值；（Ⅱ）先求出函数h（x）的导数，通过讨论a的范围，从而得到函数的单调性．

解答 解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域是（0，+∞），
当a=1时，f（x）=x-lnx，f′（x）=1-$\frac{1}{x}$=$\frac{x-1}{x}$，

x	（0，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	-	0	+
f（x）		极小

∴f（x）在x=1处取得极小值1；
（Ⅱ）h（x）=x+$\frac{1+a}{x}$-alnx，
h′（x）=1-$\frac{1+a}{{x}^{2}}$-$\frac{a}{x}$=$\frac{（x+1）[x-（1+a）]}{{x}^{2}}$，
①当a+1＞0时，即a＞-1时，在（0，1+a）上，h′（x）＜0，
在（1+a，+∞）上，h′（x）＞0，
∴h（x）在（0，1+a）递减，在（1+a，+∞）递增；
②当1+a≤0，即a≤-1时，在（0，+∞）上h′（x）＞0，
∴h（x）在（0，+∞）上递增．

点评 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，分类讨论思想，是一道中档题．