Question

18．已知A、B、C为△ABC的三个内角，向量$\overrightarrow{m}$=（2-2sinA，sinA+cosA）与$\overrightarrow{n}$=（sinA-cosA，1+sinA）共线，且$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$＞0．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）求函数y=2sin²$\frac{B}{2}$+cos$\frac{C-B}{2}$的值域．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据平行向量的坐标关系即可得到（2-2sinA）（1+sinA）-（sinA+cosA）（sinA-cosA）=0，这样即可解出sin²A，而由A为三角形的内角及$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$＞0，从而判断出A为锐角，这样即可求出A=$\frac{π}{3}$；
（Ⅱ）由B+C=$\frac{2π}{3}$便得C=$\frac{2π}{3}-B$，从而得到$\frac{C-B}{2}=\frac{π}{3}-B$，这样利用二倍角的余弦公式及两角差的正余弦公式即可化简原函数y=1+sin（B-$\frac{π}{6}$），由前面知0$＜B＜\frac{2π}{3}$，从而可得到B-$\frac{π}{6}$的范围，结合正弦函数的图象即可得到$sin（B-\frac{π}{6}）$的范围，这样即可得出原函数的值域．

解答 解：（Ⅰ）由题设知：（2-2sinA）（1+sinA）-（sinA+cosA）（sinA-cosA）=0；
∴2（1-sin²A）-sin²A+cos²A=0；
∴$si{n}^{2}A=\frac{3}{4}$；
又A为三角形内角，所以$sinA=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$；
由$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}＞0$知A为锐角；
∴$A=\frac{π}{3}$；
（Ⅱ）由（Ⅰ）及题设知：$B+C=\frac{2π}{3}$；
所以：$y=2{sin^2}\frac{B}{2}+cos（\frac{π}{3}-B）=1-cosB+cos（\frac{π}{3}-B）$=$1+\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinB-\frac{1}{2}cosB=1+sin（B-\frac{π}{6}）$；
又$0＜B＜\frac{2π}{3}$；
∴$-\frac{π}{6}＜B-\frac{π}{6}＜\frac{π}{2}$；
∴$-\frac{1}{2}＜sin（B-\frac{π}{6}）＜1$；
∴$y∈（\frac{1}{2}\;，\;2）$；
因此函数$y=2{sin^2}\frac{B}{2}+cos\frac{C-B}{2}$的值域为$（\frac{1}{2}\;，\;2）$．

点评 考查平行向量的坐标的关系，sin²A+cos²A=1，向量数量积的计算公式，已知三角函数值求角，以及三角形的内角和为π，二倍角的余弦公式，两角差的正余弦公式，要熟悉正弦函数的图象．