Question

15．已知f（x）是定义在（-3，0）∪（0，3）上的偶函数，f （x）在（0，3）上的图象如图，那么不等式f（x）•cosx＜0的解集是（-3，-$\frac{π}{2}$）∪（-1，0）∪（0，1）∪（$\frac{π}{2}$，3）．

Answer 1

分析 根据函数的奇偶性只要求出当x∈（0，3）上不等式的解集即可．

解答 解：当0＜x＜3时，不等式f（x）•cosx＜0等价为$\left\{\begin{array}{l}{f（x）＞0}\\{cosx＜0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{f（x）＜0}\\{cosx＞0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{1＜x＜3}\\{\frac{π}{2}＜x＜3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{0＜x＜1}\\{0＜x＜\frac{π}{2}}\end{array}\right.$，即$\frac{π}{2}$＜x＜3或0＜x＜1，
∵函数f（x）•cosx为偶函数，
∴当x∈（-3，0）时，不等式f（x）•cosx＜0的解为-3＜x＜-$\frac{π}{2}$或-1＜x＜0，
综上不等式的解为$\frac{π}{2}$＜x＜3或0＜x＜1或-3＜x＜-$\frac{π}{2}$或-1＜x＜0，
即不等式的解集为（-3，-$\frac{π}{2}$）∪（-1，0）∪（0，1）∪（$\frac{π}{2}$，3），
故答案为：（-3，-$\frac{π}{2}$）∪（-1，0）∪（0，1）∪（$\frac{π}{2}$，3）

点评 本题主要考查不等式的求解，根据函数的奇偶性，利用对称性求出0＜x＜3时，不等式的解集是解决本题的关键．