Question

4．在△ABC中，若sin²A+sin²B=5sin²C，当∠C取得最大值时，则sin2C=（　　）

• A． $\frac{24}{25}$
• B． $\frac{12}{25}$
• C． $\frac{7}{16}$
• D． $\frac{11}{16}$

Answer 1

分析 已知等式利用正弦定理化简，表示出c²，利用余弦定理表示出cosC，将表示出的c²代入，并利用基本不等式求出cosC的度数，进而确定出∠C的范围，得出∠C的最大值．

解答 解：∵△ABC中，sin²A+sin²B=5sin²C，
∴由正弦定理化简得：a²+b²=5c²，即c²=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{5}$，
∴由余弦定理得：cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{2（{a}^{2}+{b}^{2}）}{5ab}$≥$\frac{4ab}{5ab}$=$\frac{4}{5}$，当且仅当a=b时取等号，
∵∠C为三角形内角，
∴当∠C取得最大值时，cos∠C=$\frac{4}{5}$，解得：sinC=$\sqrt{1-co{s}^{2}C}$=$\frac{3}{5}$，
则sin2C=2sinCcosC=2×$\frac{4}{5}$×$\frac{3}{5}$=$\frac{24}{25}$．
故选：A．

点评 此题考查了正弦、余弦定理，以及余弦函数的定义域与值域，熟练掌握定理是解本题的关键，属于基本知识的考查．