Question

15．已知函数f（x）=$\frac{1-{2}^{x}}{2+{2}^{x+1}}$，证明：函数f（x）为R上的减函数．

Answer 1

分析 设x₁＜x₂，代入函数解析式化简f（x₁）-f（x₂），根据指数函数的单调性判断出符号，由函数单调性的定义即可得到结论．

解答 证明：解：设x₁＜x₂，则f（x₁）-f（x₂）=$\frac{1-{2}^{{x}_{1}}}{2+{2}^{{x}_{1}+1}}$-$\frac{1-{2}^{{x}_{2}}}{2+{2}^{{x}_{2}+1}}$
=$\frac{（1-{2}^{{x}_{1}}）（1+{2}^{{x}_{2}}）-（1-{2}^{{x}_{2}}）（1+{2}^{{x}_{1}}）}{2（1+{2}^{{x}_{1}}）（1+{2}^{{x}_{2}}）}$
=$\frac{{2}^{{x}_{2}}-{2}^{{x}_{1}}}{（1+{2}^{{x}_{1}}）（1+{2}^{{x}_{2}}）}$，
∵x₁＜x₂，∴${2}^{{x}_{2}}＞{2}^{{x}_{1}}$，则$\frac{{2}^{{x}_{2}}-{2}^{{x}_{1}}}{（1+{2}^{{x}_{1}}）（1+{2}^{{x}_{2}}）}＞0$，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，有f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在（-∞，+∞）上为减函数．

点评 本题考查函数的单调性的证明，即设值、作差、变形、定号、下结论，考查化简、变形能力，属于中档题．