Question

7．求函数y=$\frac{3{x}^{2}+2x+1}{{x}^{2}+x+1}$，x∈（0，+∞）的值域．

Answer 1

分析 利用分离常数法得y=$\frac{3{x}^{2}+2x+1}{{x}^{2}+x+1}$=3-$\frac{x+2}{{x}^{2}+x+1}$，再利用换元法令x+2=t，从而求函数的值域．

解答 解：y=$\frac{3{x}^{2}+2x+1}{{x}^{2}+x+1}$=3-$\frac{x+2}{{x}^{2}+x+1}$，
令x+2=t，
∵x≥0，∴t≥2，
∴x=t-2，
y=3-$\frac{t}{（t-2）^{2}+（t-2）+1}$
=3-$\frac{t}{{t}^{2}-3t+3}$
=3-$\frac{1}{t+\frac{3}{t}-3}$，
∵t+$\frac{3}{t}$在[2，+∞）上单调递增，
∴t+$\frac{3}{t}$-3≥$\frac{1}{2}$，
∴0＜$\frac{1}{t+\frac{3}{t}-3}$≤2，
故y∈[1，3）．
故函数y=$\frac{3{x}^{2}+2x+1}{{x}^{2}+x+1}$，x∈（0，+∞）的值域为[1，3）．

点评 本题考查了函数的值域的求法，利用了分离常数法与换元法等，属于中档题．