Question

有如下几个命题：
①若sin2A=sin2B，则△ABC是等腰三角形；
②函数y=sinx+

4

sinx

（0＜x＜π）最小值为4；
③若等差数列{a_n}前n项和为S_n，则三点（10，

S10

10

），（100，

S100

100

），（110，

S101

110

）共线；
④若a，b为正实数，代数式

a2

b2

+

b2

a2

-6(

a

b

+

b

a

)+10的值恒非负；
其中正确命题的个数是（　　）

• A、0
• B、1
• C、2
• D、3

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：计算题

分析：①若sin2A=sin2B，则 2A=2B，或 2A+2B=π，即A=B 或C=

π

2

，可知①不正确．
②当x∈（0，π）时，由于0＜sinx≤1，从而函数y=sinx+

4

sinx

的最小值不能为4，可由基本不等式进行判断；
③等差数列中

Sn

n

=a₁+（n-1）•

d

2

由此可判断三点（10，

S10

10

），（100，

S100

100

），（110，

S110

110

）共线；
④设t=

a

b

+

b

a

，则t≥2，原代数式可化成关于t的二次函数，再利用二次函数探讨它的值的情况．

解答： 解：①若sin2A=sin2B，则 2A=2B，或 2A+2B=π，即A=B 或C=

π

2

，
故△ABC为等腰三角形或直角三角形，故①不正确．
②当x∈（0，π）时，函数y=sinx+

4

sinx

≥2

sinx× 4 sinx

=4，但其等号成立的条件是sinx=2，这是不可能的，故它的最小值不为4，由于利用基本不等式求最值时等号成立的条件不具备，故此命题不成立；
③∵{a_n}为等差数列，设其公差为d，依题意得，

Sn

n

=a₁+（n-1）•

d

2

，即为n的线性函数，故（10，

S10

10

），（100，

S100

100

），（110，

S110

110

）三点共线，故③正确；
④设t=

a

b

+

b

a

，则t≥2，

a2

b2

+

b2

a2

-6(

a

b

+

b

a

)+10=(

a

b

+

b

a

)2-2-6(

a

b

+

b

a

)+10=t²-6t+8=（t-3）²-1，
当t≥2时，（t-3）²-1的值不是恒非负，故错．
故选B．

点评：本题考查复合命题的真假，解答本题关系是熟练掌握复合命题真假的判断方法，此类题知识面广，综合性强，往往涉及多个方面的知识，平时注意积累知识，基础知识掌握牢固有利于成功解答此类题．