Question

【题目】已知椭圆C：（）的一个焦点与抛物线的焦点相同，，为椭圆的左、右焦点，M为椭圆上任意一点，若的面积最大值为1.

（1）求椭圆C的方程；

（2）设不过原点的直线l：与椭圆C交于不同的两点A、B，若直线l的斜率是直线、斜率的等比中项，求面积的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）由抛物线焦点坐标及的面积最大值可求出、，即可求出椭圆的方程；

（2）联立直线与椭圆方程，设出交点坐标，再利用斜率公式可得，再结合点到直线的距离公式求解即可.

解：（1）由抛物线的方程为得其焦点坐标为，

所以可得椭圆中.

当M点位于椭圆的短轴顶点时，的面积最大，

此时，所以.

又由得，

所以椭圆C的方程为，

（2）由消去y得，

，即（*）.

设，，则，.

∵直线l的斜率是直线、斜率的等比中项，，

，，，

，，，代入（*）式得.

又，，且，

，

设点O到直线的距离为d，则，

，

且，，

故面积的取值范围为.