Question

【题目】如图，直角坐标系中，圆的方程为，，，为圆上三个定点，某同学从点开始，用掷骰子的方法移动棋子．规定：①每掷一次骰子，把一枚棋子从一个定点沿圆弧移动到相邻下一个定点；②棋子移动的方向由掷骰子决定，若掷出骰子的点数为偶数，则按图中箭头方向移动；若掷出骰子的点数为奇数，则按图中箭头相反的方向移动．设掷骰子次时，棋子移动到，，处的概率分别为，，．例如：掷骰子一次时，棋子移动到，，处的概率分别为，，．

（1）分别掷骰子二次，三次时，求棋子分别移动到，，处的概率；

（2）掷骰子次时，若以轴非负半轴为始边，以射线，，为终边的角的余弦值记为随机变量，求的分布列和数学期望；

（3）记，，，其中．证明：数列是等比数列，并求.

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）证明详见解析，.

【解析】

（1）由概率的乘法公式，可得所求值；

（2）随机变量的可能数值为1，，结合（1）运用概率的乘法公式，可随机变量的分布列和期望；

（3）易知，即，由条件推得，利用构造法可得，从而求得的值.

（1），，

，，

综上，

棋子位置 掷骰子次数
2
3

（2）随机变量的可能数值为1，.

综合（1）得

，

，

故随机变量的分布列为

.

（3）易知，因此，

而当时，，

又，

即.

因此，

故

即数列是以为首项，公比为的等比数列.

所以，

又

故.