Question

已知函数f（x）=

1

3

x³-bx+c（b，c∈R）
（Ⅰ）若函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=2x+1，求b，c的值；
（Ⅱ）若b=1，函数f（x）在区间（0，2）内有唯一零点，求c的取值范围；
（Ⅲ）若对任意的x₁，x₂∈[-1，1]，均有|f（x₁）-f（x₂）|≤

4

3

，求b的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求导函数f′（x），根据f′（1）=2可求出b的值，再根据切点既在切线上又在函数图象上可求出c的值；
（Ⅱ）先利用导数研究函数的单调性，从而得到f（x）在区间（0，2）内有唯一零点等价于f（1）=0或

f(0)≤0 f(2)＞0

，解之即可求出c的取值范围；
（Ⅲ）若对任意的x₁，x₂∈[-1，1]，均有|f（x₁）-f（x₂）|≤

4

3

等价于f（x）在[-1，1]上的最大值与最小值之差M≤

4

3

，讨论b的取值范围，求出f（x）在[-1，1]上的最大值与最小值之差M，建立关系式，解之即可．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=

1

3

x³-bx+c，
∴f′（x）=x²-b，
∴f′（1）=1-b=2，解得b=-1，
又f（1）=2+1=3，
∴

1

3

-b+c=3，解得c=

5

3

；
（Ⅱ）∵b=1，
∴f（x）=

1

3

x³-x+c，则f′（x）=x²-1，
当x∈（0，1）时，f′（x）＜0，当x∈（1，2）时，f′（x）＞0，
∴f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，2）上单调递增，
又f（0）=c＜f（2）=

2

3

+c，
可知f（x）在区间（0，2）内有唯一零点等价于f（1）=0或

f(0)=c≤0 f(2)= 2 3 +c＞0

，
解得c=

2

3

或-

2

3

＜c≤0；
（Ⅲ） 若对任意的x₁，x₂∈[-1，1]，均有|f（x₁）-f（x₂）|≤

4

3

等价于f（x）在[-1，1]上的最大值与最小值之差M≤

4

3

，
（ⅰ） 当b≤0时，在[-1，1]上f′（x）≥0，f（x）在[-1，1]上单调递增，
由M=f（1）-f（-1）=

2

3

-2b≤

4

3

，得b≥-

1

3

，所以-

1

3

≤b≤0，
（ⅱ）当b＞0时，由f′（x）=0得x=±

b

，
由f（x）=f（-

b

）得x=2

b

或x=-

b

，
∴f（2

b

）=f（-

b

），同理f（-2

b

）=f（

b

），
①当

b

＞1，即b＞1时，M=f（-1）-f（1）=2b-

2

3

＞

4

3

，与题设矛盾，
②当

b

≤1≤2

b

，即

1

4

≤b≤1时，M=f（-2

b

）-f（

b

）=-

2

3

(

b

)3+2b

b

=

4

3

(

b

)3≤

4

3

恒成立，
③当2

b

＜1，即0＜b＜

1

4

时，M=f（1）-f（-1）=

2

3

-2b≤

4

3

恒成立，
综上所述，b的取值范围为[-

1

3

，1]．

点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，导数的几何意义，以及研究函数的零点问题，对于利用导数研究函数的单调性，注意导数的正负对应着函数的单调性，利用导数研究函数最值问题时，经常会运用分类讨论的数学思想方法．属于中档题．