Question

小波以游戏方式决定：是去打球、唱歌还是去下棋．游戏规则为：以O为起点，再从A₁，A₂，A₃，A₄，A₅，A₆（如图）这6个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X，若X＞0就去打球；若X=0就去唱歌；若X＜0就去下棋．
（Ⅰ）分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率．
（Ⅱ）写出数量积X的所有可能取值，并求X分布列与数学期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,等可能事件的概率

专题：概率与统计

分析：（Ⅰ）由题设求出X的所有可能取值的种数，对取出两个向量的数量积进行计算，求出X的所有可能取值，找出X＜0的次数，用古典概型的概率能求出小波去下棋的概率；再找出X=0的次数，先求出小波去唱歌的概率，由对立事件的概率求法能求出小波不去唱歌的概率．
（Ⅱ）由题设知X的所有可能取值为-2，-1，0，1，分别求出P（X=-2），P（X=-1），P（X=0），P（X=1），由此能求出X的分布列和数学期望．

解答： 解：（Ⅰ）由题设知X的所有可能取值，
即从

OA1

，

OA2

，

OA3

，

OA4

，

OA5

，

OA6

这六个向量中任取两个，
共有

C

2 6

=15种．…（1分）
如下表：

OAi • OAj	OA1	OA2	OA3	OA4	OA5	OA6
OA1		1	0	0	-1	-1
OA2			1	-1	-2	-1
OA3				-1	-1	0
OA4					1	0
OA5						1
OA 6

而对取出两个向量的数量积进行计算，
得到X的所有可能取值为-2，-1，0，1，…（3分）
求小波去下棋的概率，这是古典概型，
只需找出总的事件数有

C

2 6

种，
∵X＜0就去下棋，只需在上表计算结果中，找出小于零的次数为7，…（4分）
有古典概型的概率求法知：小波去下棋的概率为P₁=

7

15

，…（5分）
小波不去唱歌的概率，它的对立事件为，去唱歌，而X=0就去唱歌，
在上表中，X=0共有四次，故去唱歌的概率为P₂=

4

15

，
有对立事件的概率求法知：小波不去唱歌的概率P=1-P₂=1-

4

15

=

11

15

．…（6分）
（Ⅱ）由上表可知X的所有可能取值为-2，-1，0，1，
数量积为-2的只有一种，数量积为-1的有六种，数量积为0的有四种，数量积为1的有四种，
所有可能的情况共有15种．
∴P（X=-2）=

1

15

，
P（X=-1）=

6

15

=

2

5

，
P（X=0）=

4

15

，
P（X=1）=

4

15

．（每个1分）       （4分）
∴X的分布列为：

X	-2	-1	0	1
P	1 15	2 5	4 15	4 15

（5分）
EX=-2×

1

15

+(-1)×

2

5

+0×

4

15

+1×

4

15

=-

4

15

．（6分）

点评：本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是历年高考的必考题型之一，解题时要注意排列组合知识的合理运用，是中档题．