Question

4．若2x²+3y²=64，则x²+y²的最大值是32．

Answer 1

分析 求得椭圆方程的参数形式，运用同角的平方关系和余弦函数的值域，即可得到最大值．

解答 解：2x²+3y²=64，
即为$\frac{{x}^{2}}{32}$+$\frac{{y}^{2}}{\frac{64}{3}}$=1，
设x=4$\sqrt{2}$cosα，y=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$sinα，（0≤α＜2π），
则x²+y²=32cos²α+$\frac{64}{3}$sin²α
=$\frac{32}{3}$cos²α+$\frac{64}{3}$（cos²α+sin²α）
=$\frac{32}{3}$cos²α+$\frac{64}{3}$，
当α=0时，cosα=1，x²+y²取得最大值32．
故答案为：32．

点评 本题考查椭圆的方程的运用，考查椭圆参数方程的运用，及余弦函数的值域，属于中档题．