Question

如图,在直三棱柱中,AB=BC,D、E分别为的中点.

(Ⅰ)证明：ED为异面直线BB₁与AC₁的公垂线；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m          

(Ⅱ)设AB=1,,求二面角A₁―AD―C₁的大小.

 

 

 

 

 

 

Answer 1

证明：(Ⅰ) 设O为AC中点，连接EO，BO，则EO∥＝C₁C，又C₁C∥＝B₁B，所以EO∥＝DB，EOBD为平行四边形，ED∥OB．   

∵AB＝BC，∴BO⊥AC，

又平面ABC⊥平面ACC₁A₁，BOÌ面ABC，故BO⊥平面ACC₁A₁，

∴ED⊥平面ACC₁A₁，BD⊥AC₁，ED⊥CC₁，

∴ED⊥BB₁，ED为异面直线AC₁与BB₁的公垂线．……6分

解：（Ⅱ）连接A₁E，由AB=1,AA₁＝AC＝可知，A₁ACC₁为正方形，

∴A₁E⊥AC₁，又由ED⊥平面ACC₁A₁和EDÌ平面ADC₁知平面

ADC₁⊥平面A₁ACC₁，∴A₁E⊥平面ADC₁．作EF⊥AD，垂足为F，连接A₁F，则A₁F⊥AD，∠A₁FE为二面角A₁－AD－C₁的平面角．

由已知AB＝ED=1, AA₁＝AC＝，∴AE=A₁E=1，

EF＝＝，

tan∠A₁FE＝=，∴∠A₁FE＝60°．w.w.w.k.s.5.u.c.o.m          

所以二面角A₁－AD－C₁为60°．