【题目】已知函数f(x)=ax2﹣2ax+1+b(a>0)在区间[2,3]上有最大值4和最小值1.
(Ⅰ)求实数a,b的值;
(Ⅱ)设函数g(x)=,若不等式g(2x)﹣k2x≤0在x∈[﹣1,1]上恒成立,求实数k的取值范围.
【答案】(1)a=1,b=0;(2)
【解析】
(Ⅰ)时,
在区间
上单调递增,可得
,解出即可;(Ⅱ)由(Ⅰ)可得
,原题可化为
,分离参数
,令
,求出
的最大值即可.
解:(Ⅰ)f(x)=ax2﹣2ax+1+b=a(x﹣1)2+1+b﹣a.
∵a>0,∴f(x)在区间[2,3]上单调递增,
∴,解得a=1,b=0;
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,f(x)=x2﹣2x+1,
∴g(x)==
,
不等式g(2x)﹣k2x≤0可化为,
即k.
令t=,
∵x∈[﹣1,1],∴t∈[,2],
令h(t)=t2﹣2t+1=(t﹣1)2,t∈[,2],
∴当t=2时,函数取得最大值h(2)=1.
∴k≥1.
∴实数k的取值范围为[1,+∞).
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【题目】已知等差数列 中,公差
,
,且
成等比数列.
(1)求数列 的通项公式;
(2)若 为数列
的前
项和,且存在
,使得
成立,求实数
的取值范围.
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【题目】已知函数.
(1)若函数为
上的奇函数,求实数a的值;
(2)当时,函数
在
为减函数,求实数a的取值范围;
(3)是否存在实数(
),使得
在闭区间
上的最大值为2,若存在,求出
的值;若不存在,请说明理由.
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【题目】已知,函数
在
上是单调递增函数,则
的取值范围是______.
【答案】
【解析】∵,
∴,
又函数在
单调递增,
∴在
上恒成立,
即在
上恒成立。
又当时,
,
∴。
又,
∴。
故实数的取值范围是
。
答案:
点睛:对于导函数和函数单调性的关系要分清以下结论:
(1)当时,若
,则
在区间D上单调递增(减);
(2)若函数在区间D上单调递增(减),则
在区间D上恒成立。即解题时可将函数单调性的问题转化为
的问题,但此时不要忘记等号。
【题型】填空题
【结束】
19
【题目】某珠宝店丢了一件珍贵珠宝,以下四人中只有一人说真话,只有一人偷了珠宝.甲:我没有偷;乙:丙是小偷;丙:丁是小偷;丁:我没有偷.根据以上条件,可以判断偷珠宝的人是__________.
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【题目】已知椭圆的左、右两个焦点分别为
,离心率
,短轴长为2.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设点为椭圆上的一动点(非长轴端点),
的延长线与椭圆交于
点,
的延长线与椭圆交于
点,若
面积为
,求直线
的方程.
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)
或
【解析】试题分析:(Ⅰ)由题意得,再由
椭圆的方程为
;(Ⅱ)①当直线
斜率不存在时,不妨取
面积为
,不符合题意. ②当直线
斜率存在时,设直线
, 由
得
,再求点
的直线
的距离
点
到直线
的距离为
面积为
∴
或
所求方程为
或
.
试题解析:
(Ⅰ)由题意得,∴
,
∵,∴
,
∴椭圆的方程为.
(Ⅱ)①当直线斜率不存在时,不妨取
,
∴面积为
,不符合题意.
②当直线斜率存在时,设直线
,
由化简得
,
设,
∴
,
∵点的直线
的距离
,
又是线段
的中点,∴点
到直线
的距离为
,
∴面积为
,
∴,∴
,∴
,∴
或
,
∴直线的方程为
或
.
【题型】解答题
【结束】
25
【题目】已知函数.
(Ⅰ)求函数的单调区间与极值;
(Ⅱ)若,且
,证明:
.
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【题目】如图,平面ABEF⊥平面ABC,四边形ABEF为矩形,AC=BC.O为AB的中点,OF⊥EC. (Ⅰ)求证:OE⊥FC:
(Ⅱ)若 =
时,求二面角F﹣CE﹣B的余弦值.
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【题目】如图放置的边长为2的正三角形ABC沿x轴滚动,记滚动过程中顶点A的横、纵坐标分别为和
,且
是
在映射
作用下的象,则下列说法中:
① 映射的值域是
;
② 映射不是一个函数;
③ 映射是函数,且是偶函数;
④ 映射是函数,且单增区间为
,
其中正确说法的序号是___________.
说明:“正三角形ABC沿x轴滚动”包括沿x轴正方向和沿x轴负方向滚动.沿x轴正方向滚动指的是先以顶点B为中心顺时针旋转,当顶点C落在x轴上时,再以顶点C为中心顺时针旋转,如此继续.类似地,正三角形ABC可以沿x轴负方向滚动.
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【题目】已知函数是定义域为
的奇函数,当
.
(Ⅰ)求出函数在
上的解析式;
(Ⅱ)在答题卷上画出函数的图象,并根据图象写出
的单调区间;
(Ⅲ)若关于的方程
有三个不同的解,求
的取值范围。
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【题目】当|a|≤1,|x|≤1时,关于x的不等式|x2﹣ax﹣a2|≤m恒成立,则实数m的取值范围是( )
A.[ ,+∞)
B.[ ,+∞)
C.[ ,+∞)
D.[ ,+∞)
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