Question

【题目】已知椭圆的左、右两个焦点分别为，离心率，短轴长为2.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设点为椭圆上的一动点（非长轴端点），的延长线与椭圆交于点，的延长线与椭圆交于点，若面积为，求直线的方程.

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）或

【解析】试题分析：（Ⅰ）由题意得，再由 椭圆的方程为；（Ⅱ）①当直线斜率不存在时，不妨取面积为 ，不符合题意. ②当直线斜率存在时，设直线， 由 得 ，再求点的直线的距离 点到直线的距离为面积为 ∴或 所求方程为或.

试题解析：

（Ⅰ）由题意得，∴，

∵，∴，

∴椭圆的方程为.

（Ⅱ）①当直线斜率不存在时，不妨取，

∴面积为 ，不符合题意.

②当直线斜率存在时，设直线，

由化简得，

设，

∴ ，

∵点的直线的距离，

又是线段的中点，∴点到直线的距离为，

∴面积为 ，

∴，∴，∴，∴或，

∴直线的方程为或.

【题型】解答题
【结束】
25

【题目】已知函数.

（Ⅰ）求函数的单调区间与极值；

（Ⅱ）若，且，证明： .

Answer 1

【答案】（1）的单调增区间为，单调减区间为，函数在处取得极大值，且；（2）见解析.

【解析】试题分析：（1）先求导数，再求导函数零点，列表分析导函数符号变化规律，进而确定单调区间以及极值（2）为极值点偏移问题，先构造函数， ，根据导数可得单调性，即得，最后根据单调性得，即证得结论

试题解析：（Ⅰ）由，

易得的单调增区间为，单调减区间为，

函数在处取得极大值，且

（Ⅱ）由， ，不妨设，则必有，

构造函数， ，

则 ，所以在上单调递增， ，也即对恒成立.

由，则，

所以 ，

即，又因为， ，且在上单调递减，

所以，即证.