【题目】如图,直三棱柱中,
,
,
分别为
、
的中点.
(1)证明:平面
;
(2)已知与平面
所成的角为
,求二面角
的余弦值.
【答案】(1)见证明(2)
【解析】
解法1:(1)建立空间直角坐标系,利用直线的向量和平面法向量平行证明线面垂直;
(2)设,利用
与平面
所成的角为
得到
的值,再求出两个面的法向量之间的夹角余弦值,得到二面角的余弦值.
解法2:(1)取中点
,连接
、
,易证
平面
,再证明
,可得
平面
(2)设,利用
与平面
所成的角为
得到
的值,再求出两个面的法向量之间的夹角余弦值,得到二面角的余弦值.
解法3:(1)同解法2
(2)设,利用三棱锥
等体积转化,得到
到面
的距离,利用
与平面
所成的角为
得到
与
的关系,解出
,在两个平面分别找出
垂直于交线,得到二面角,求出其余弦值.
解法1:
(1)以为坐标原点,射线
为
轴的正半轴,建立如图所示的直角坐标系
.
设,
,则
,
,
,
,
,
,
,
,
.
因为,
,
所以,
,
面
,
面
,
于是平面
.
(2)设平面的法向量
,
则,
,
又,
,
故,取
,得
.
因为与平面
所成的角为
,
,
所以,
,
解得,
.
由(1)知平面的法向量
,
,
所以二面角的余弦值为
.
解法2:
(1)取中点
,连接
、
,
,
平面
,
平面
,
而平面
,
平面
,
平面
.
为
中点,
,
,
,
,
四边形
为平行四边形,
.
平面
.
(2)以为坐标原点,射线
为
轴的正半轴,建立如图所示的直角坐标系
.
设,
,
,则
,
,
.
设平面的法向量
,
则,
,
又,
,
故,
取,得
.
因为与平面
所成的角为
,
,
所以,
,
解得,
.
由(1)知平面的法向量
,
所以二面角的余弦值为
.
解法3:
(1)同解法2.
(2)设,
,则
,
,
,
,
,
到平面
距离
,设
到面
距离为
,
由
得,即
.
因为与平面
所成的角为
,
所以,
而在直角三角形中
,
所以,
解得.
因为平面
,
平面
,所以
,
平面
,
平面
所以
,所以
平面
,
平面
,
平面
所以为二面角
的平面角,
而,可得四边形
是正方形,所以
,
所以二面角的余弦值为
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某创业者计划在某旅游景区附近租赁一套农房发展成特色“农家乐”,为了确定未来发展方向此创业者对该景区附近五家“农家乐”跟踪调查了100天,这五家“农家乐的收费标准互不相同得到的统计数据如下表,x为收费标准(单位:元/日),t为入住天数(单位:天),以频率作为各自的“入住率”,收费标准x与“入住率”y的散点图如图
x | 100 | 150 | 200 | 300 | 450 |
t | 90 | 65 | 45 | 30 | 20 |
(1)若从以上五家“农家乐”中随机抽取两家深人调查,记为“入住率超过0.6的农家乐的个数,求
的概率分布列
(2)z=lnx,由散点图判断与
哪个更合适于此模型(给出判断即可不必说明理由)?并根据你的判断结果求回归方程(a,
的结果精确到0.1)
(3)根据第(2)问所求的回归方程,试估计收费标准为多少时,100天销售额L最大?(100天销售额L=100×入住率×收费标准x)
参考数据,
,
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
已知曲线的参数方程为
,在同一平面直角坐标系中,将曲线
上的点按坐标变换
得到曲线
,以原点为极点,
轴的正半轴为极轴,建立极坐标系.
(Ⅰ)求曲线的极坐标方程;
(Ⅱ)若过点(极坐标)且倾斜角为
的直线
与曲线
交于
两点,弦
的中点为
,求
的值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程,下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是( )
A. 消耗1升汽油,乙车最多可行驶5千米
B. 以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最多
C. 甲车以80千米/小时的速度行驶1小时,消耗10升汽油
D. 某城市机动车最高限速80千米/小时. 相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在某次数学考试中,考生的成绩号服从一个正态分布,即.
(1)试求考试成绩位于区间
上的概率是多少?
(2)若这次考试共有2000名考生,试估计考试成绩在的考生大约有多少人?
(参考数据:;
;
)
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图所示的某种容器的体积为,它是由圆锥和圆柱两部分连结而成的,圆柱与圆锥的底面圆半径都为
.圆锥的高为
,母线与底面所成的角为
;圆柱的高为
.已知圆柱底面造价为
元
,圆柱侧面造价为
元
,圆锥侧面造价为
元
.
(1)将圆柱的高表示为底面圆半径
的函数,并求出定义域;
(2)当容器造价最低时,圆柱的底面圆半径为多少?
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【题目】以下命题中:
①若向量、
、
是空间的一组基底,则向量
、
、
也是空间的一组基底;
②已知、
、
三点不共线,点
为平面
外任意一点,若点
满足
,则点
平面
;
③曲线与曲线
(
且
)有相同的焦点.
④过定圆上一定点
作圆的动弦
,
为坐标原点,若
,则动点
的轨迹为椭圆;
⑤若过点的直线
交椭圆
于不同的两点
,且
是
的中点,则直线
的方程是
.
其中真命题的序号是______.(写出所有真命题的序号)
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