Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，己知圆C经过点(，)，(，)，且与直线相切.

（1）求圆C的方程；

（2）设P是直线l：x＝4上的任意一点，过点P作圆C的切线，切点为M，N.

①求证：直线MN过定点（记为Q）；

②设直线PQ与圆C交于点A，B，与y轴交于点D.若，，求＋的值.

Answer 1

【答案】（1）（2）①证明见解析；②

【解析】

（1）设圆C的方程为，由此得，解出即可；

（2）①设P(4，)，由题意P，M，N，C在以PC为直径的圆上，两圆方程作差可得直线MN的方程为，由直线系方程即可求出定点；

②由①得Q(1，0)，设直线PQ的方程为，则D(0，﹣k)，设A(，)，B(，)，联立直线与圆的方程消元，由韦达定理可得，根据题意可得到，代入后化简求值即可．

解：（1）设圆C的方程为，

由题意可得，，

解得，，，

∴圆C的方程为；

（2）①设P(4，)，

∵PM，PN是圆C的两条切线，

∴PM⊥MC，PN⊥NC，

∴P，M，N，C在以PC为直径的圆上，

∴该圆上任意一点满足，

∵，，

∴，即，

∴该圆方程为，

由作差可得公共弦所在直线MN的方程为，

∴直线MN过定点(1，0)；

②由①可得Q(1，0)，设直线PQ的方程为，则D(0，﹣k)，

设A(，)，B(，)，

由得，

∴，

由，，得，即，

∴．