Question

【题目】已知数列、中，，，且，，设数列、的前项和分别为和.

（1）若数列是等差数列，求和；

（2）若数列是公比为2的等比数列.

①求；

②是否存在实数，使对任意自然数都成立？若存在，求的值；若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）①②存在；实数

【解析】

（1）由题意得到得到等差数列的公差是，从而得到和，再分为奇数和为偶数，分别求出；

（2）①表由得到，结合是公比为2的等比数列，得到答案；

②根据题意得到，，然后将用中的项表示，从而得到，由，得，从而得到关于的方程，因为对任意自然数都成立，所以得到关于的方程，

解出的值.

解：（1）依题意：时，，

又因数列是等差数列，

所以数列的公差是，

所以，所以.

当是奇数时，

当是偶数时，，

所以

（2）①

.

②∵，

，

∴

.

由，得，

即对任意恒成立，

即对任意恒成立，

所以

解得.

即存在实数使对任意恒成立.