[题目]如图.过椭圆C:上一点P作x轴的垂线.垂足为.已知.分别为椭圆C的左.右焦点.A.B分别是椭圆C的右顶点.上顶点.且.．(1)求椭圆C的方程,(2)过点的直线l交椭圆C于M.N两点.记直线PM.PN.MN的斜率分别为.问:是否为定值?请说明理由．题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】如图，过椭圆C：上一点P作x轴的垂线，垂足为，已知，分别为椭圆C的左、右焦点，A，B分别是椭圆C的右顶点、上顶点，且，．

（1）求椭圆C的方程；

（2）过点的直线l交椭圆C于M，N两点，记直线PM，PN，MN的斜率分别为，问：是否为定值？请说明理由．

【答案】（1）（2）是定值，定值．

【解析】

（1）由题意不妨设，，则可得，又由得，得，由可求解出，即得椭圆方程；

（2）由题意知直线的方程为，设，

联立方程得，消去并整理，得，利用根与系数的关系表示出，化简计算即得.

（1）由题意可设，，代入椭圆的方程得，，得，∴，

由得，∴，，

∴，

又，∴，

∴椭圆的方程为；

（2）由题意知直线的方程为，设，

联立方程得，消去并整理，得，

∴，，

∴

，

∴为定值．

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