Question

【题目】已知抛物线与直线相切于点，点与关于轴对称．

（1）求抛物线的方程及点的坐标；

（2）设是轴上两个不同的动点，且满足，直线、与抛物线的另一个交点分别为，试判断直线与直线的位置关系，并说明理由．如果相交，求出的交点的坐标．

Answer 1

【答案】（1），；（2）∥，详见解析．

【解析】

（1）联立方程组，整理得，根据，求得，得到抛物线的方程，进而得到点的坐标，从而求得点的坐标．

（2）设，直线的方程为，得出的方程为，

代入，求得，进而得到，代入抛物线的方程求得的坐标，利用斜率公式，即可得到结论.

（1）由题意，抛物线与直线相切于点，

联立方程组，消去，得，

所以，解得或，

又，解得，所以抛物线的方程为，

由，得，所以切点为，

因为点与关于轴对称，点的坐标．

（2）直线，理由如下：

依题意，直线的斜率不为，

设，直线的方程为，

由（1）知点，则，所以直线的方程为，

代入，解得(舍)或，所以，

因为，所以关于对称，得，

同理得的方程为，代入，

得，，

直线的斜率为，因此．