Question

已知函数f（x）=1+x-

x2

2

+

x3

3

-

x4

4

+…+

x2013

2013

，设F（x）=f（x+4），且函数F（x）的零点均在区间[a，b]（a＜b，a，b∈Z）内，圆x²+y²=b-a的面积的最小值是（　　）

A．π

B．2π

C．3π

D．4π

Answer 1

分析：利用导数研究函数f（x）的单调性，得函数f（x）是R上的增函数．再用零点存在性定理，得f（x）在R上有唯一零点x₀∈（-1，0），结合函数图象的平移知识可得数F（x）的零点必在区间（-5，-4）．由此不难得到b-a的最小值，进而得到所求圆面积的最小值．

解答：解：∵f（x）=1+x-

x2

2

+

x3

3

-

x4

4

+…+

x2013

2013

，
∴当x＜-1或x＞-1时，f'（x）=1-x+x²-x³+…+x²⁰¹²=

1+x2013

1+x

＞0．
而当x=-1时，f'（x）=2013＞0
∴f'（x）＞0对任意x∈R恒成立，得函数f（x）是（-∞，+∞）上的增函数
∵f（-1）=（1-1）+（-

1

2

-

1

3

）+…+（-

1

2012

-

1

2013

）＜0，f（0）=1＞0
∴函数f（x）在R上有唯一零点x₀∈（-1，0）
∵F（x）=f（x+4），得函数F（x）的零点是x₀-4∈（-5，-4）
∴a≤-5且b≥-4，得b-a的最小值为-4-（-5）=1
∵圆x²+y²=b-a的圆心为原点，半径r=

b-a

∴圆x²+y²=b-a的面积为πr²=π（b-a）≤π，可得面积的最小值为π
故选：A

点评：本题给出关于x的多项式函数，求函数零点所在的区间长度的最小值．着重考查了函数的零点、圆的标准方程和利用导数研究函数的性质等知识点，属于中档题．