Question

【题目】已知函数（为自然对数的底数），其中．

（Ⅰ）若，求的单调区间；

（Ⅱ）求零点的个数．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）函数的单调增区间是；单调减区间是．（Ⅱ）当或时，函数只有一个零点；当或时，函数有两个零点；当时，函数有三个零点．

【解析】

（Ⅰ）对函数求导，根据导数的正负即可容易判断函数的单调性；

（Ⅱ）分离参数，构造函数，利用导数研究函数的单调性，即可容易判断.

（Ⅰ）当时，，故可得，

令，解得，

故在区间单调递减，在区间单调递增.

（Ⅱ）因为

故当时，，即一定是函数的一个零点.

又当时，令，分离参数可得：

，令，故可得，

令，解得，

故在区间上单调递增，在区间和单调递减.

且当时，，且当时，；

当时，，且当时，；

又，故的图像如下所示：

故当，即时，与有一个交点，

当，即时，与有一个交点，

当，即时，与有两个交点，

当，即可时，与没有交点，

综上所述：当时，有3个零点；

当时，有1个零点；

当或时，有2个零点.