Question

【题目】已知函数.

（1）求在上的单调区间；

（2）当时，求不等式的解集；

（3）当时，设函数，求证：不等式在定义域上恒成立.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析

【解析】

（1）求出导函数，对a分类讨论，解不等式即可得到单调区间；（2）借助（1）中的单调性，数形结合解不等式即可；（3）令：，求出其最小值为零即可.

（1）=0,则

①当即 此时

在上单调增；

②当 即

在，此时，

在上单调减；

在，此时，

在上单调增。

③当 即 此时 在上单调减。

综上所述：

，在上单调增，

， 在上单调减，在上单调增

，在上单调减

（2）

此时的导数 在，，

在上单调减；

在，，

在上单调增。

当时，恒成立。

当时，，且为单调增函数，所以解集为

（画出图像，交代在时，即可）

（3）由题意知可令：

则有

又因为时有，时有，

即函数在

所以即有；得证