Question

17．己知函数f（x）=ax²-2ax+b（a＞0）在区间[0，3]上有最大值3和最小值-1．
（Ⅰ）求实数a，b的值；
（Ⅱ）设g（x）=$\frac{f（x）}{x}$，若不等式g（3^x）-k•3^x≥0在x∈[-1，0）上恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据二次函数的性质求出f（x）的单调区间，求出函数的最大值和最小值，得到关于a，b的方程组，解出即可；
（Ⅱ）问题转化为k≤1-$\frac{2}{{3}^{x}}$，令h（x）=1-$\frac{2}{{3}^{x}}$，根据函数的单调性求出h（x）的最小值，求出k的范围即可．

解答 解：（Ⅰ）f（x）的对称轴是x=1，a＞0，
故f（x）在[0，1]递减，在[1，3]递增，
故f（x）_min=f（1）=-1，f（x）_max=f（3）=3；
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-b=1}\\{3a+b=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=0}\end{array}\right.$；
（Ⅱ）∵g（x）=$\frac{f（x）}{x}$=x-2，
∴g（3^x）-k3^x=3^x-2-k3^x，
∴（1-k）3^x-2≥0，
∴k≤1-$\frac{2}{{3}^{x}}$，
令h（x）=1-$\frac{2}{{3}^{x}}$，则h（x）在[-1，0]递增，
故h（x）_min=h（-1）=-5，
∴g（3^x）-k•3^x≥0在x∈[-1，0）上恒成立时，k≤-5．

点评 本题考查了二次函数的性质，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．