Question

设实数c＞0，整数p＞1，n∈N^*．
（Ⅰ）证明：当x＞-1且x≠0时，（1+x）^p＞1+px；
（Ⅱ）数列{a_n}满足a₁＞c

1

p

，a_n+1=

p-1

p

a_n+

c

p

a_n^1-p．证明：a_n＞a_n+1＞c

1

p

．

Answer 1

考点：不等式的证明,数列与不等式的综合,分析法和综合法

专题：函数思想,点列、递归数列与数学归纳法

分析：第（Ⅰ）问中，可构造函数f（x）=（1+x）^p-（1+px），求导数后利用函数的单调性求解；
对第（Ⅱ）问，从a_n+1＞c

1

p

着手，由a_n+1=

p-1

p

a_n+

c

p

a_n^1-p，将求证式进行等价转化后即可解决，用相同的方式将a_n＞a_n+1进行转换，设法利用已证结论证明．

解答： 证明：（Ⅰ）令f（x）=（1+x）^p-（1+px），则f′（x）=p（1+x）^p-1-p=p[（1+x）^p-1-1]．
①当-1＜x＜0时，0＜1+x＜1，由p＞1知p-1＞0，∴（1+x）^p-1＜（1+x）⁰=1，
∴（1+x）^p-1-1＜0，即f′（x）＜0，
∴f（x）在（-1，0]上为减函数，
∴f（x）＞f（0）=（1+0）^p-（1+p×0）=0，即（1+x）^p-（1+px）＞0，
∴（1+x）^p＞1+px．
②当x＞0时，有1+x＞1，得（1+x）^p-1＞（1+x）⁰=1，
∴f′（x）＞0，
∴f（x）在[0，+∞）上为增函数，
∴f（x）＞f（0）=0，
∴（1+x）^p＞1+px．
综合①、②知，当x＞-1且x≠0时，都有（1+x）^p＞1+px，得证．
（Ⅱ）先证a_n+1＞c

1

p

．
∵a_n+1=

p-1

p

a_n+

c

p

a_n^1-p，∴只需证

p-1

p

a_n+

c

p

a_n^1-p＞c

1

p

，
将

p-1

p

写成p-1个

1

p

相加，上式左边=

1

p

an+

1

p

an+…+

1

p

an+

c a 1-p n

p

≥p

p	a p-1 n pp-1 • c a 1-p n p

=c

1

p

，
当且仅当

an

p

=

c a 1-p n

p

，即an=c

1

p

时，上式取“=”号，
当n=1时，由题设知a1＞c

1

p

，∴上式“=”号不成立，
∴

p-1

p

a_n+

c

p

a_n^1-p＞c

1

p

，即a_n+1＞c

1

p

．
再证a_n＞a_n+1．
只需证a_n＞

p-1

p

a_n+

c

p

a_n^1-p，化简、整理得a_n^p＞c，只需证a_n＞c 

1

p

．
由前知a_n+1＞c

1

p

成立，即从数列{a_n}的第2项开始成立，
又n=1时，由题设知a1＞c

1

p

成立，
∴an＞c

1

p

对n∈N^*成立，∴a_n＞a_n+1．
综上知，a_n＞a_n+1＞c

1

p

，原不等式得证．

点评：本题是一道压轴题，考查的知识众多，涉及到函数、数列、不等式，利用的方法有分析法与综合法等，综合性很强，难度较大．