Question

设F₁，F₂分别是椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点，过点F₁的直线交椭圆E于A，B两点，|AF₁|=3|F₁B|．
（Ⅰ）若|AB|=4，△ABF₂的周长为16，求|AF₂|；
（Ⅱ）若cos∠AF₂B=

3

5

，求椭圆E的离心率．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质,三角形的面积公式

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）利用|AB|=4，△ABF₂的周长为16，|AF₁|=3|F₁B|，结合椭圆的定义，即可求|AF₂|；
（Ⅱ）设|F₁B|=k（k＞0），则|AF₁|=3k，|AB|=4k，由cos∠AF₂B=

3

5

，利用余弦定理，可得a=3k，从而△AF₁F₂是等腰直角三角形，即可求椭圆E的离心率．

解答： 解：（Ⅰ）∵|AB|=4，|AF₁|=3|F₁B|，
∴|AF₁|=3，|F₁B|=1，
∵△ABF₂的周长为16，
∴4a=16，
∴|AF₁|+|AF₂|=2a=8，
∴|AF₂|=5；
（Ⅱ）设|F₁B|=k（k＞0），则|AF₁|=3k，|AB|=4k，
∴|AF₂|=2a-3k，|BF₂|=2a-k
∵cos∠AF₂B=

3

5

，
在△ABF₂中，由余弦定理得，|AB|²=|AF₂|²+|BF₂|²-2|AF₂|•|BF₂|cos∠AF₂B，
∴（4k）²=（2a-3k）²+（2a-k）²-

6

5

（2a-3k）（2a-k），
化简可得（a+k）（a-3k）=0，而a+k＞0，故a=3k，
∴|AF₂|=|AF₁|=3k，|BF₂|=5k，
∴|BF₂|²=|AF₂|²+|AB|²，
∴AF₁⊥AF₂，
∴△AF₁F₂是等腰直角三角形，
∴c=

2

2

a，
∴e=

c

a

=

2

2

．

点评：本题考查椭圆的定义，考查椭圆的性质，考查余弦定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．