Question

若函数f（x）=2sin（

π

6

x+

π

3

）（2＜x＜10）的图象与x轴交于点A，过点A的直线l与f（x）的图象交于B、C两点，O为坐标原点，则（

OB

+

OC

）•

OA

=

 

．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：根据“f（x）=2sin（

π

6

x+

π

3

）（2＜x＜10）的图象与x轴交于点A”求出A点坐标，设B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），由正弦函数的对称性可知B，C 两点关于A对称即x₁+x₂=8，y₁+y₂=0，代入向量的数量积的坐标表示即可求解

解答： 解：由f（x）=2sin（

π

6

x+

π

3

）=0，可得

π

6

x+

π

3

=kπ，
∴x=6k-2，k∈Z
∵2＜x＜10
∴x=4即A（4，0）
设B（x₁，y₁），C（x₂，y₂）
∵过点A的直线l与函数的图象交于B、C两点
∴B，C 两点关于A对称即x₁+x₂=8，y₁+y₂=0
∴（

OB

+

OC

）•

OA

=（x₁+x₂，y₁+y₂）•（4，0）=4（x₁+x₂）=32
故答案为：32．

点评：本题主要考查了向量的数量积的坐标表示，解题的关键正弦函数对称性质的应用．