Question

如图，设椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F₁，F₂，点D在椭圆上，DF₁⊥F₁F₂，

丨F1F2丨

丨DF1丨

=2

2

，△DF₁F₂的面积为

2

2

．
（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；
（Ⅱ）是否存在圆心在y轴上的圆，使圆在x轴的上方与椭圆有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线互相垂直并分别过不同的焦点？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）设F₁（-c，0），F₂（c，0），依题意，可求得c=1，易求得|DF₁|=

|F1F2|

2 2

=

2

2

，|DF₂|=

3 2

2

，从而可得2a=2

2

，于是可求得椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设圆心在y轴上的圆C与椭圆

x2

2

+y²=1相交，P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂）是两个交点，依题意，利用圆和椭圆的对称性，易知x₂=-x₁，y₁=y₂，|P₁P₂|=2|x₁|，由F₁P₁⊥F₂P₂，得x₁=-

4

3

或x₁=0，分类讨论即可求得圆心及半径，从而可得圆的方程．

解答： 解：（Ⅰ）设F₁（-c，0），F₂（c，0），其中c²=a²-b²，
由

丨F1F2丨

丨DF1丨

=2

2

，得|DF₁|=

|F1F2|

2 2

=

2

2

c，
从而S△DF1F2=

1

2

|DF₁||F₁F₂|=

2

2

c²=

2

2

，故c=1．
从而|DF₁|=

2

2

，由DF₁⊥F₁F₂，得|DF2|2=|DF1|2+|F1F2|2=

9

2

，
因此|DF₂|=

3 2

2

，
所以2a=|DF₁|+|DF₂|=2

2

，故a=

2

，b²=a²-c²=1，
因此，所求椭圆的标准方程为

x2

2

+y²=1；
（Ⅱ）设圆心在y轴上的圆C与椭圆

x2

2

+y²=1相交，P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂）是两个交点，


y₁＞0，y₂＞0，F₁P₁，F₂P₂是圆C的切线，且F₁P₁⊥F₂P₂，由圆和椭圆的对称性，易知x₂=-x₁，y₁=y₂，|P₁P₂|=2|x₁|，
由（Ⅰ）知F₁（-1，0），F₂（1，0），所以

F1P1

=（x₁+1，y₁），

F2P2

=（-x₁-1，y₁），再由F₁P₁⊥F₂P₂，得-(x1+1)2+y12=0，
由椭圆方程得1-

x12

2

=(x1+1)2，即3x12+4x₁=0，解得x₁=-

4

3

或x₁=0．
当x₁=0时，P₁，P₂重合，此时题设要求的圆不存在；
当x₁=-

4

3

时，过P₁，P₂，分别与F₁P₁，F₂P₂垂直的直线的交点即为圆心C，设C（0，y₀）
由F₁P₁，F₂P₂是圆C的切线，知CP₁⊥F₁P₁，得

y1-y0

x1

•

y1

x1+1

=-1，而|y₁|=|x₁+1|=

1

3

，
故y₀=

5

3

，
故圆C的半径|CP₁|=

(- 4 3 )2+( 1 3 - 5 3 )2

=

4 2

3

．
综上，存在满足题设条件的圆，其方程为x²+(y-

5

3

)2=

32

9

．

点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，考查化归思想、方程思想分类讨论思想的综合应用，考查综合分析与运算能力，属于难题．